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Question

Question: In \(\sin ^ { 2 } \frac { A } { 2 } , \sin ^ { 2 } \frac { B } { 2 } , \sin ^ { 2 } \frac { C } { 2 ...

In sin⁡2A2,sin⁡2B2,sin⁡2C2\sin ^ { 2 } \frac { A } { 2 } , \sin ^ { 2 } \frac { B } { 2 } , \sin ^ { 2 } \frac { C } { 2 } be in H. P. then a, b, c will be in.

A

A. P.

B

G. P.

C

H. P.

D

None of these

Answer

H. P.

Explanation

Solution

1sin⁡2A2,1sin⁡2B2,1sin⁡2C2\frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \frac { A } { 2 } } , \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \frac { B } { 2 } } , \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \frac { C } { 2 } }are in A. P.

⇒ 1sin⁡2C2−1sin⁡2B2=1sin⁡2B2−1sin⁡2A2\frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \frac { C } { 2 } } - \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \frac { B } { 2 } } = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \frac { B } { 2 } } - \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \frac { A } { 2 } }

⇒ ab(s−a)(s−b)−ac(s−a)(s−c)\frac { a b } { ( s - a ) ( s - b ) } - \frac { a c } { ( s - a ) ( s - c ) }

=ac(s−a)(s−c)−bc(s−b)(s−c)= \frac { a c } { ( s - a ) ( s - c ) } - \frac { b c } { ( s - b ) ( s - c ) }

⇒ (as−a)(b(s−c)−c(s−b)(s−b)(s−c))\left( \frac { a } { s - a } \right) \left( \frac { b ( s - c ) - c ( s - b ) } { ( s - b ) ( s - c ) } \right) =(cs−c)(a(s−b)−b(s−a)(s−a)(s−b))\left( \frac { c } { s - c } \right) \left( \frac { a ( s - b ) - b ( s - a ) } { ( s - a ) ( s - b ) } \right)

⇒ abs−abc−acs+abc=acs−abc−bcs+abca b s - a b c - a c s + a b c = a c s - a b c - b c s + a b c

⇒ ab−ac=ac−bc⇒ab+bc=2aca b - a c = a c - b c \Rightarrow a b + b c = 2 a c

or 1c+1a=2b\frac { 1 } { c } + \frac { 1 } { a } = \frac { 2 } { b } , i.e., a,b,ca , b , c are in H. P.

Note : Students should remember this question as a fact.