Question

In $\triangle A B C$ $1 - \tan \frac { A } { 2 } \tan \frac { B } { 2 } =$

• A. $\frac { 2 c } { a + b + c }$
• B. $\frac { a } { a + b + c }$
• C. $\frac { 2 } { a + b + c }$
• D. $\frac { 4 a } { a + b + c }$

Answer 1

Answer: (A)

$\frac { 2 c } { a + b + c }$

Answer 2

$1 - \tan \frac { A } { 2 } \tan \frac { B } { 2 } = \frac { \cos \frac { A } { 2 } \cos \frac { B } { 2 } - \sin \frac { A } { 2 } \sin \frac { B } { 2 } } { \cos \frac { A } { 2 } \cos \frac { B } { 2 } }$

$= \frac { \cos \left( \frac { A } { 2 } + \frac { B } { 2 } \right) } { \cos \frac { A } { 2 } \cos \frac { B } { 2 } } = \frac { \sin \frac { C } { 2 } } { \cos \frac { A } { 2 } \cos \frac { B } { 2 } }$

$= \left[ \frac { ( s - a ) ( s - b ) b c \cdot a c } { a b \cdot s ( s - a ) s ( s - b ) } \right] ^ { 1 / 2 }$ $= \frac { c } { s } = \frac { 2 c } { a + b + c }$.