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Question

Question: In \(\triangle A B C , \frac { \sin ( A - B ) } { \sin ( A + B ) } =\)...

In △ABC,sin⁡(A−B)sin⁡(A+B)=\triangle A B C , \frac { \sin ( A - B ) } { \sin ( A + B ) } =

A

a2−b2c2\frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { c ^ { 2 } }

B

a2+b2c2\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { c ^ { 2 } }

C

c2a2−b2\frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }

D

c2a2+b2\frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }

Answer

a2−b2c2\frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { c ^ { 2 } }

Explanation

Solution

sin⁡(A−B)sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B−sin⁡Bcos⁡Asin⁡C\frac { \sin ( A - B ) } { \sin ( A + B ) } = \frac { \sin A \cos B - \sin B \cos A } { \sin C }

=accos⁡B−bccos⁡A= \frac { a } { c } \cos B - \frac { b } { c } \cos A

But cos⁡B=a2+c2−b22ac,cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos B = \frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a c } , \cos A = \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c }

⇒accos⁡B−bccos⁡A=12c2\Rightarrow \frac { a } { c } \cos B - \frac { b } { c } \cos A = \frac { 1 } { 2 c ^ { 2 } } (a2+c2−b2−b2−c2+a2)\left( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b ^ { 2 } - b ^ { 2 } - c ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right)

=a2−b2c2= \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { c ^ { 2 } }.