Question

In an equilateral triangle, the inradius, circumradius and one of the exradii are in the ratio

• A. $2 : 3 : 5$
• B. $1 : 2 : 3$
• C. $1 : 3 : 7$
• D. $3 : 7 : 9$

Answer 1

Answer: (B)

$1 : 2 : 3$

Answer 2

We have, $\Delta=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}, s=\frac{3a}{2}$
Inradius $r=\frac{\Delta}{s}=\frac{a}{2\sqrt{3}}$
Circumradius $R=\frac{abc}{4\Delta}=\frac{a^{3}}{\sqrt{3}a^{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$
and exradii $r_{1}=\frac{\Delta}{s-a}=\frac{\sqrt{3}/ 4a^{2}}{a / 2}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}a$
$\therefore$ Required ratio $=r: R: r_{1}$
$= \frac{a}{2\sqrt{3}} : \frac{a}{\sqrt{3}} : \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a=1 : 2 : 3.$