Question

$\int \frac { d x } { x + \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } }$ is equal to

• A. $\frac { 1 } { 2 }$sin^-1 $\frac { x } { a } + \ln \sqrt { x + \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } + c$
• B. $\frac { 1 } { 2 }$sin^-1 $\frac { x } { a } + \ln \left( x \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \right) + c$
• C. $\frac { 1 } { 2 }$sin^-1 $\frac { x } { a } + \ln \left( \sqrt { a + \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right) + c$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (A)

$\frac { 1 } { 2 }$sin^-1 $\frac { x } { a } + \ln \sqrt { x + \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } + c$

Answer 2

Here $I = \int \frac { \cos \theta } { \sin \theta + \cos \theta }$dθ (x = a sin θ, dx = a cos θ d θ)$= \frac { 1 } { 2 } \int d \theta + \frac { 1 } { 2 } \int \frac { \cos \theta - \sin \theta } { \sin \theta + \cos \theta } d \theta$

= $\frac { 1 } { 2 } \theta + \frac { 1 } { 2 } \ln ( \sin \theta + \cos \theta )$

= $\frac { 1 } { 2 } \sin ^ { - 1 } \frac { x } { a } + \ln \sqrt { x + \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } + c$