Question

If ƒ(x) = $\left( \frac{x^{2} + 5x + 3}{x^{2} + x + 2} \right)^{x}$ then $\lim_{x \rightarrow \infty}$ ƒ(x) is –

• A. e^–4
• B. e³
• C. e²
• D. e⁴

Answer 1

Answer: (D)

e⁴

Answer 2

$\lim _ { x \rightarrow \infty }$ ƒ(x) = $\lim _ { x \rightarrow \infty }$ $\left( \frac { x ^ { 2 } + 5 x + 3 } { x ^ { 2 } + x + 2 } \right) ^ { x }$

= $\lim _ { x \rightarrow \infty }$ $\left( 1 + \frac { 4 x + 1 } { x ^ { 2 } + x + 2 } \right) ^ { x }$

= $\lim _ { x \rightarrow \infty }$ $\left[ \left( 1 + \frac { 4 x + 1 } { x ^ { 2 } + x + 2 } \right) ^ { \frac { x ^ { 2 } + x + 2 } { 4 x + 1 } } \right] ^ { \alpha }$ … (1)

Where α = $\frac { x ( 4 x + 1 ) } { x ^ { 2 } + x + 2 }$ = → 4 as x → ∞ 

∴ (1) ⇒ $\lim _ { x \rightarrow \infty }$ƒ(x) = e⁴.