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Question

Mathematics Question on Vector Algebra

If a⃗\vec a,b⃗\vec b,c⃗\vec care mutually perpendicular to equal magnitudes, showing that the vector a⃗\vec a+b⃗\vec b+c⃗\vec cis equally inclined to a⃗\vec a,b⃗\vec b,and c⃗\vec c.

Answer

Since,a⃗\vec a,b⃗\vec b,and c⃗\vec c are mutually perpendicular vectors,we have
a⃗\vec a.b⃗\vec b=b⃗\vec b.c⃗\vec c=c⃗\vec c.a⃗\vec a=0.
It is given that:
|a⃗\vec a|=|b⃗\vec b|=|c⃗\vec c|
Let vector a⃗\vec a+b⃗\vec b+c⃗\vec cbe inclined to a⃗\vec a,b⃗\vec band c⃗\vec c at angles θ1,θ2,and θ3 respectively.
Then,we have:
cosθ=(a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c).a⃗\vec a/|a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c||a⃗\vec a|=a⃗\vec a.a⃗+b⃗\vec a+\vec b.a⃗+c⃗\vec a+\vec c.a⃗\vec a/|a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c||a⃗\vec a|
=∣a⃗∣∣a⃗+b⃗+c⃗∣\frac{|\vec a|}{|\vec a+\vec b+\vec c|}|a⃗\vec a| [a⃗.b⃗\vec a.\vec b=a⃗.c⃗\vec a.\vec c=0]
=∣a⃗∣∣a⃗+b⃗+c⃗∣\frac{|\vec a|}{|\vec a+\vec b+\vec c|}
cosθ2=(a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c).b⃗\vec b/|a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c||b⃗\vec b|=a⃗.b⃗+b⃗.b⃗+c⃗.b⃗∣a⃗+b⃗+c⃗∣.∣b⃗∣\frac{\vec a.\vec b+\vec b.\vec b+\vec c.\vec b}{|\vec a+\vec b+\vec c|.|\vec b|}
=∣b⃗∣2a⃗+b⃗+c⃗.∣b⃗∣[a⃗.b⃗=c⃗.b⃗=0]\frac{|\vec b|^2}{\vec a+\vec b+\vec c}.|\vec b|[\vec a.\vec b=\vec c.\vec b=0]
=∣b⃗∣∣a⃗+b⃗+c⃗∣\frac{|\vec b|}{|\vec a+\vec b+\vec c|}
cosθ3=(a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c).c⃗\vec c/|a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c||c⃗\vec c|=a⃗.c⃗\vec a.\vec c+b⃗.c⃗\vec b.\vec c+c⃗.c⃗\vec c.\vec c/|a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c||c⃗\vec c|
=|c⃗\vec c|2/|a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c||c⃗\vec c| [a⃗\vec a.c⃗\vec c=b⃗\vec b.c⃗\vec c=0]
=∣c⃗∣∣a⃗+b⃗+c⃗∣\frac{|\vec c|}{|\vec a+\vec b+\vec c|}
Now,as |a⃗\vec a||b⃗\vec b|=|c⃗\vec c|,cosθ1=cosθ2=cosθ3.
∴θ1=θ2=θ3
Hence,(a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c)is equally inclined to a⃗\vec a,b⃗\vec b,and c⃗\vec c.