Solveeit Logo
Login

Question

Question: If the ratio of A.M. between two positive real numbers *a* and *b* to their H.M. is *m* : *n*, then ...

If the ratio of A.M. between two positive real numbers a and b to their H.M. is m : n, then a : b is

A

m−n+nm−n−n\frac { \sqrt { m - n } + \sqrt { n } } { \sqrt { m - n } - \sqrt { n } }

B

n+m−nn−m−n\frac { \sqrt { n } + \sqrt { m - n } } { \sqrt { n } - \sqrt { m - n } }

C

m+m−nm−m−n\frac { \sqrt { m } + \sqrt { m - n } } { \sqrt { m } - \sqrt { m - n } }

D

None of these

Answer

m+m−nm−m−n\frac { \sqrt { m } + \sqrt { m - n } } { \sqrt { m } - \sqrt { m - n } }

Explanation

Solution

We have, mn=(a+b)24ab=(ab+1)24ab\frac { m } { n } = \frac { ( a + b ) ^ { 2 } } { 4 a b } = \frac { \left( \frac { a } { b } + 1 \right) ^ { 2 } } { 4 \frac { a } { b } }

⇒ 2mnab=(1+ab)2 \frac { \sqrt { m } } { \sqrt { n } } \sqrt { \frac { a } { b } } = \left( 1 + \frac { a } { b } \right)

Let ab=r2\frac { a } { b } = r ^ { 2 }, ∴ 2mnr=(1+r2)\frac { 2 \sqrt { m } } { \sqrt { n } } r = \left( 1 + r ^ { 2 } \right) ⇒ 2mr=n+nr22 \sqrt { m } r = \sqrt { n } + \sqrt { n } r ^ { 2 }

⇒ nr2−2mr+n=0\sqrt { n } r ^ { 2 } - 2 \sqrt { m } r + \sqrt { n } = 0

∴ r=2m±4m−4n2n=m±m−nnr = \frac { 2 \sqrt { m } \pm \sqrt { 4 m - 4 n } } { 2 \sqrt { n } } = \frac { \sqrt { m } \pm \sqrt { m - n } } { \sqrt { n } }

Considering +ve sign,

r=m+m−nn=(m+m−n)(m−m−n)n(m−m−n)r = \frac { \sqrt { m } + \sqrt { m - n } } { \sqrt { n } } = \frac { ( \sqrt { m } + \sqrt { m - n } ) ( \sqrt { m } - \sqrt { m - n } ) } { \sqrt { n } ( \sqrt { m } - \sqrt { m - n } ) } =m−(m−n)n(m−m−n)=nm−m−n= \frac { m - ( m - n ) } { \sqrt { n } ( \sqrt { m } - \sqrt { m - n } ) } = \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { m } - \sqrt { m - n } }

∴r2=m+m−nn⋅nm−m−nr ^ { 2 } = \frac { \sqrt { m } + \sqrt { m - n } } { \sqrt { n } } \cdot \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { m } - \sqrt { m - n } }.

Hence, ab=m+m−nm−m−n\frac { a } { b } = \frac { \sqrt { m } + \sqrt { m - n } } { \sqrt { m } - \sqrt { m - n } }.