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Question

Question: If the lines \(l _ { 1 } x + m _ { 1 } y + n _ { 1 } = 0\) and \(l _ { 2 } x + m _ { 2 } y + n _ { 2...

If the lines l1x+m1y+n1=0l _ { 1 } x + m _ { 1 } y + n _ { 1 } = 0 and l2x+m2y+n2=0l _ { 2 } x + m _ { 2 } y + n _ { 2 } = 0 cuts the axes at con-cyclic points, then.

A

l1l2=m1m2l _ { 1 } l _ { 2 } = m _ { 1 } m _ { 2 }

B

l1m1=l2m2l _ { 1 } m _ { 1 } = l _ { 2 } m _ { 2 }

C

l1l2+m1m2=0l _ { 1 } l _ { 2 } + m _ { 1 } m _ { 2 } = 0

D

l1m2=l2m1l _ { 1 } m _ { 2 } = l _ { 2 } m _ { 1 }

Answer

l1l2=m1m2l _ { 1 } l _ { 2 } = m _ { 1 } m _ { 2 }

Explanation

Solution

P1≡(−n1l1,0)P _ { 1 } \equiv \left( - \frac { n _ { 1 } } { l _ { 1 } } , 0 \right) ,P2≡(0,−n1m1)P _ { 2 } \equiv \left( 0 , \frac { - n _ { 1 } } { m _ { 1 } } \right), P3≡(−n2l2,0)P _ { 3 } \equiv \left( - \frac { n _ { 2 } } { l _ { 2 } } , 0 \right) and

P4≡(0,−n2m2)P _ { 4 } \equiv \left( 0 , - \frac { n _ { 2 } } { m _ { 2 } } \right) {∠P1P2P3=∠P1P4P3}\left\{ \angle P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 } = \angle P _ { 1 } P _ { 4 } P _ { 3 } \right\}

Now, m12=−l1m1,m23=−n1n2⋅l2m1,m14=−n2n1⋅l1m2m _ { 12 } = - \frac { l _ { 1 } } { m _ { 1 } } , m _ { 23 } = - \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \cdot \frac { l _ { 2 } } { m _ { 1 } } , m _ { 14 } = - \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \cdot \frac { l _ { 1 } } { m _ { 2 } },

m34=−l2m2m _ { 34 } = - \frac { l _ { 2 } } { m _ { 2 } }

tan⁡θ=−l1m1+n1l2n2m11+n1l1l2n2m12\tan \theta = \frac { - \frac { l _ { 1 } } { m _ { 1 } } + \frac { n _ { 1 } l _ { 2 } } { n _ { 2 } m _ { 1 } } } { 1 + \frac { n _ { 1 } l _ { 1 } l _ { 2 } } { n _ { 2 } m _ { 1 } ^ { 2 } } } and tan⁡ϕ=−n2l1n1m2+l2m21+n2l1l2n1m22\tan \phi = \frac { - \frac { n _ { 2 } l _ { 1 } } { n _ { 1 } m _ { 2 } } + \frac { l _ { 2 } } { m _ { 2 } } } { 1 + \frac { n _ { 2 } l _ { 1 } l _ { 2 } } { n _ { 1 } m _ { 2 } ^ { 2 } } }

Now , tan⁡θ=tan⁡ϕ⇒m1m2=l1l2\tan \theta = \tan \phi \Rightarrow m _ { 1 } m _ { 2 } = l _ { 1 } l _ { 2 }

Aliter : Line l1x+m1y+n1=0l _ { 1 } x + m _ { 1 } y + n _ { 1 } = 0 cuts x and y-axes in A(−n1l1,0)A \left( - \frac { n _ { 1 } } { l _ { 1 } } , 0 \right) , B(0,−n1m1)B \left( 0 , - \frac { n _ { 1 } } { m _ { 1 } } \right) and line l2x+m2y+n2=0l _ { 2 } x + m _ { 2 } y + n _ { 2 } = 0 cuts axes in C(−n2l2,0)C \left( - \frac { n _ { 2 } } { l _ { 2 } } , 0 \right) , D(0,−n2m2)D \left( 0 , \frac { - n _ { 2 } } { m _ { 2 } } \right) .

So AC and BD are chords along x and y-axes intersecting at origin O. Since A, B, C, D are concyclic, so OA.OC = OB.OD

or ∣(−n1l1)(−n2l2)∣=∣(−n1m1)(−n2m2)∣\left| \left( - \frac { n _ { 1 } } { l _ { 1 } } \right) \left( - \frac { n _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) \right| = \left| \left( - \frac { n _ { 1 } } { m _ { 1 } } \right) \left( - \frac { n _ { 2 } } { m _ { 2 } } \right) \right| or ∣l1l2∣=∣m1m2∣\left| l _ { 1 } l _ { 2 } \right| = \left| m _ { 1 } m _ { 2 } \right|

So l1l2=m1m2l _ { 1 } l _ { 2 } = m _ { 1 } m _ { 2 }is correct among the given choices, which is given in (1).