Solveeit Logo
Login

Question

Question: If \(\tan ^ { - 1 } \frac { 1 - x } { 1 + x } = \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { - 1 } x\) , then x =...

If tan⁡−11−x1+x=12tan⁡−1x\tan ^ { - 1 } \frac { 1 - x } { 1 + x } = \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { - 1 } x , then x =

A

1

B

3\sqrt { 3 }

C

13\frac { 1 } { \sqrt { 3 } }

D

None of these

Answer

13\frac { 1 } { \sqrt { 3 } }

Explanation

Solution

We have tan⁡−11−x1+x=12tan⁡−1x\tan ^ { - 1 } \frac { 1 - x } { 1 + x } = \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { - 1 } x

⇒tan⁡−1[1−tan⁡θ1+tan⁡θ]=12θ\Rightarrow \tan ^ { - 1 } \left[ \frac { 1 - \tan \theta } { 1 + \tan \theta } \right] = \frac { 1 } { 2 } \theta (Putting x=tan⁡θ)x = \tan \theta )

⇒tan⁡−1[tan⁡π4−tan⁡θ1+tan⁡π4tan⁡θ]=θ2\Rightarrow \tan ^ { - 1 } \left[ \frac { \tan \frac { \pi } { 4 } - \tan \theta } { 1 + \tan \frac { \pi } { 4 } \tan \theta } \right] = \frac { \theta } { 2 }

⇒tan⁡−1tan⁡(π4−θ)=θ2⇒π4−θ=θ2\Rightarrow \tan ^ { - 1 } \tan \left( \frac { \pi } { 4 } - \theta \right) = \frac { \theta } { 2 } \Rightarrow \frac { \pi } { 4 } - \theta = \frac { \theta } { 2 }

⇒θ=π6=tan⁡−1x⇒x=tan⁡π6=13\Rightarrow \theta = \frac { \pi } { 6 } = \tan ^ { - 1 } x \Rightarrow x = \tan \frac { \pi } { 6 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } }.