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Question

Question: If \(\tan ^ { - 1 } \frac { a + x } { a } + \tan ^ { - 1 } \frac { a - x } { a } = \frac { \pi } { 6...

If tan⁡−1a+xa+tan⁡−1a−xa=π6\tan ^ { - 1 } \frac { a + x } { a } + \tan ^ { - 1 } \frac { a - x } { a } = \frac { \pi } { 6 },then x2x ^ { 2 }=

A

23a2 \sqrt { 3 } a

B

3a\sqrt { 3 } a

C

23a22 \sqrt { 3 } a ^ { 2 }

D

None of these

Answer

23a22 \sqrt { 3 } a ^ { 2 }

Explanation

Solution

Given equation is

tan⁡−1a+xa+tan⁡−1a−xa=π6\tan ^ { - 1 } \frac { a + x } { a } + \tan ^ { - 1 } \frac { a - x } { a } = \frac { \pi } { 6 }

⇒tan⁡−1(a+xa+a−xa1−a+xa⋅a−xa)=π6\Rightarrow \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \frac { a + x } { a } + \frac { a - x } { a } } { 1 - \frac { a + x } { a } \cdot \frac { a - x } { a } } \right) = \frac { \pi } { 6 }

⇒2a2x2=tan⁡π6=13⇒x2=23a2\Rightarrow \frac { 2 a ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } = \tan \frac { \pi } { 6 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \Rightarrow x ^ { 2 } = 2 \sqrt { 3 } a ^ { 2 }.