Question

If $\tan ^ { - 1 } \frac { x - 1 } { x + 2 } + \tan ^ { - 1 } \frac { x + 1 } { x + 2 } = \frac { \pi } { 4 }$, then x =

• A. $\frac { 1 } { \sqrt { 2 } }$
• B. $- \frac { 1 } { \sqrt { 2 } }$
• C. $\pm \sqrt { \frac { 5 } { 2 } }$
• D. $\pm \frac { 1 } { 2 }$

Answer 1

Answer: (C)

$\pm \sqrt { \frac { 5 } { 2 } }$

Answer 2

We have $\tan ^ { - 1 } \frac { x - 1 } { x + 2 } + \tan ^ { - 1 } \frac { x + 1 } { x + 2 } = \frac { \pi } { 4 }$

$\Rightarrow \tan ^ { - 1 } \left[ \frac { \frac { x - 1 } { x + 2 } + \frac { x + 1 } { x + 2 } } { 1 - \left( \frac { x - 1 } { x + 2 } \right) \left( \frac { x + 1 } { x + 2 } \right) } \right] = \frac { \pi } { 4 }$

$\Rightarrow \left[ \frac { 2 x ( x + 2 ) } { x ^ { 2 } + 4 + 4 x - x ^ { 2 } + 1 } \right] = \tan \frac { \pi } { 4 }$

⇒ $\frac { 2 x ( x + 2 ) } { 4 x + 5 } = \tan \frac { \pi } { 4 } = 1$

$\Rightarrow 2 x ^ { 2 } + 4 x = 4 x + 5$ $\Rightarrow x = \pm \sqrt { \frac { 5 } { 2 } }$.