Question

If $\tan ^ { - 1 } x + \tan ^ { - 1 } y + \tan ^ { - 1 } z = \frac { \pi } { 2 }$then

• A. $x + y + z - x y z = 0$
• B. $x + y + z + x y z = 0$
• C. $x y + y z + z x + 1 = 0$
• D. $x y + y z + z x - 1 = 0$

Answer 1

Answer: (D)

$x y + y z + z x - 1 = 0$

Answer 2

Given that

$\tan ^ { - 1 } x + \tan ^ { - 1 } y + \tan ^ { - 1 } z = \frac { \pi } { 2 }$

$\Rightarrow \left[ \frac { x + y + z - x y z } { 1 - x y - y z - z x } \right] = \tan \frac { \pi } { 2 } = \frac { 1 } { 0 }$

Hence $x y + y z + z x - 1 = 0$.

Trick : $x = y = z = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } }$ so that

$\tan ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } + \tan ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } + \tan ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } = \frac { \pi } { 2 }$

Obviously (4) holds for these values of x, y, z