Question

If $\sum _ { \mathrm { r } = 1 } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { t } _ { \mathrm { r } } = \frac { 1 } { 6 } \mathrm { n } ( \mathrm { n } + 1 ) ( \mathrm { n } + 2 ) \forall \mathrm { n } \geq 1$, Then is

• A. 2
• B. 3
• C. 3/2
• D. 6

Answer 1

Answer: (A)

2

Answer 2

We have, for n ≥ 1,

$\mathrm { t } _ { \mathrm { n } } = \sum _ { \mathrm { r } = 1 } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { t } _ { \mathrm { r } } - \sum _ { \mathrm { r } = 1 } ^ { \mathrm { n } - 1 } \mathrm { t } _ { \mathrm { r } }$

$= \frac { 1 } { 2 } \mathrm { n } ( \mathrm { n } + 1 )$ .

Now, for ,

⇒ $\sum _ { \mathrm { r } = 1 } ^ { \mathrm { n } } \frac { 1 } { \mathrm { t } _ { \mathrm { r } } } = 2 \sum _ { \mathrm { r } = 1 } ^ { \mathrm { n } } \left[ \frac { 1 } { \mathrm { r } } - \frac { 1 } { \mathrm { r } + 1 } \right] = 2 \left( 1 - \frac { 1 } { \mathrm { n } + 1 } \right)$

⇒ $\lim _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { r = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { t _ { r } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } 2 \left( 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \right) = 2 ( 1 - 0 ) = 2$