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Question: If \(G _ { 1 } , G _ { 2 }\) and \(H _ { 1 } , H _ { 2 }\) be two A.M.’s, G.M.’s and H.M.’s between...

If G1,G2G _ { 1 } , G _ { 2 } and H1,H2H _ { 1 } , H _ { 2 } be two A.M.’s, G.M.’s and

H.M.’s between two quantities, then the value of G1G2H1H2\frac { G _ { 1 } G _ { 2 } } { H _ { 1 } H _ { 2 } } is

A

A1+A2H1+H2\frac { A _ { 1 } + A _ { 2 } } { H _ { 1 } + H _ { 2 } }

B

A1−A2H1+H2\frac { A _ { 1 } - A _ { 2 } } { H _ { 1 } + H _ { 2 } }

C

A1+A2H1−H2\frac { A _ { 1 } + A _ { 2 } } { H _ { 1 } - H _ { 2 } }

D

A1−A2H1−H2\frac { A _ { 1 } - A _ { 2 } } { H _ { 1 } - H _ { 2 } }

Answer

A1+A2H1+H2\frac { A _ { 1 } + A _ { 2 } } { H _ { 1 } + H _ { 2 } }

Explanation

Solution

Let a and b be the two numbers

∴ A1=a+(b−a3)=2a+b3A _ { 1 } = a + \left( \frac { b - a } { 3 } \right) = \frac { 2 a + b } { 3 }, A2=a+2(b−a3)=a+2b3A _ { 2 } = a + 2 \left( \frac { b - a } { 3 } \right) = \frac { a + 2 b } { 3 }

G1=a(ba)1/3=a2/3b1/3G _ { 1 } = a \left( \frac { b } { a } \right) ^ { 1 / 3 } = a ^ { 2 / 3 } b ^ { 1 / 3 } , G2=a((ba)1/3)2=a1/3b2/3G _ { 2 } = a \left( \left( \frac { b } { a } \right) ^ { 1 / 3 } \right) ^ { 2 } = a ^ { 1 / 3 } b ^ { 2 / 3 }

H2=3ab2a+bH _ { 2 } = \frac { 3 a b } { 2 a + b }

∴ G1G2H1H2=(a2/3b1/3)(a1/3b2/3)3aba+2b⋅3ab2a+b=(a+2b)(2a+b)9ab\frac { G _ { 1 } G _ { 2 } } { H _ { 1 } H _ { 2 } } = \frac { \left( a ^ { 2 / 3 } b ^ { 1 / 3 } \right) \left( a ^ { 1 / 3 } b ^ { 2 / 3 } \right) } { \frac { 3 a b } { a + 2 b } \cdot \frac { 3 a b } { 2 a + b } } = \frac { ( a + 2 b ) ( 2 a + b ) } { 9 a b }

A1+A2=2a+b3+a+2b3=a+bA _ { 1 } + A _ { 2 } = \frac { 2 a + b } { 3 } + \frac { a + 2 b } { 3 } = a + b

H1+H2=3aba+2b+3ab2a+b=3ab(2a+b+a+2b(a+2b)(2a+b))=9ab(a+b)(a+2b)(2a+b)H _ { 1 } + H _ { 2 } = \frac { 3 a b } { a + 2 b } + \frac { 3 a b } { 2 a + b } = 3 a b \left( \frac { 2 a + b + a + 2 b } { ( a + 2 b ) ( 2 a + b ) } \right) = \frac { 9 a b ( a + b ) } { ( a + 2 b ) ( 2 a + b ) }∴ A1+A2H1+H2=(a+2b)(2a+b)9ab=G1G2H1H2\frac { A _ { 1 } + A _ { 2 } } { H _ { 1 } + H _ { 2 } } = \frac { ( a + 2 b ) ( 2 a + b ) } { 9 a b } = \frac { G _ { 1 } G _ { 2 } } { H _ { 1 } H _ { 2 } }