Solveeit Logo

Question

Question: If \(\int _ { 0 } ^ { k } \frac { d x } { 2 + 8 x ^ { 2 } } = \frac { \pi } { 16 }\) then \(k =\)...

If 0kdx2+8x2=π16\int _ { 0 } ^ { k } \frac { d x } { 2 + 8 x ^ { 2 } } = \frac { \pi } { 16 } then k=k =

A

1

B

12\frac { 1 } { 2 }

C

14\frac { 1 } { 4 }

D

None of these

Answer

12\frac { 1 } { 2 }

Explanation

Solution

0k12+8x2dx=120kdx1+(2x)2=1402kdt1+t2\int _ { 0 } ^ { k } \frac { 1 } { 2 + 8 x ^ { 2 } } d x = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { k } \frac { d x } { 1 + ( 2 x ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { 2 k } \frac { d t } { 1 + t ^ { 2 } }

.

Comparing it with the given value, we get

tan12k=π42k=1k=12\tan ^ { - 1 } 2 k = \frac { \pi } { 4 } \Rightarrow 2 k = 1 \Rightarrow k = \frac { 1 } { 2 }.