Question

If then $\int _ { a } ^ { b } x f ( x ) d x =$

• A. $\frac { a + b } { 2 } \int _ { a } ^ { b } f ( b - x ) d x$
• B. $\frac { a + b } { 2 } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x$
• C. $\frac { b - a } { 2 } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (B)

$\frac { a + b } { 2 } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x$

Answer 2

Since $I = \int _ { a } ^ { b } x f ( x ) d x = \int _ { a } ^ { b } ( a + b - x ) f ( a + b - x ) d x$

⇒ $I = \int _ { a } ^ { b } ( a + b ) f ( x ) d x - \int _ { a } ^ { b } x f ( x ) d x$

$\{ \because f ( a + b - x ) = f ( x )$ given $\}$

⇒ $I = \int _ { a } ^ { b } x f ( x ) d x = \frac { a + b } { 2 } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x$.