Question

If $\mathbf { a }$ is any vector, then $( \mathbf { a } \times \mathbf { i } ) ^ { 2 } + ( \mathbf { a } \times \mathbf { j } ) ^ { 2 } + ( \mathbf { a } \times \mathbf { k } ) ^ { 2 }$ is equal to

• A. $| \mathbf { a } | ^ { 2 }$
• B. 0
• C. $3 | \mathbf { a } | ^ { 2 }$
• D. $2 | \mathbf { a } | ^ { 2 }$

Answer 1

Answer: (D)

$2 | \mathbf { a } | ^ { 2 }$

Answer 2

Let $\mathbf { a } = a _ { 1 } \mathbf { i } + a _ { 2 } \mathbf { j } + a _ { 3 } \mathbf { k }$

$\therefore$ $\mathbf { a } \times \mathbf { i }$ = $\left( a _ { 1 } \mathbf { i } + a _ { 2 } \mathbf { j } + a _ { 3 } \mathbf { k } \right) \times \mathbf { i }$ = $- a _ { 2 } \mathbf { k } + a _ { 3 } \mathbf { j }$

= $\left( - a _ { 2 } \mathbf { k } + a _ { 3 } \mathbf { j } \right) \cdot \left( - a _ { 2 } \mathbf { k } + a _ { 3 } \mathbf { j } \right)$ = $a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 }$

Similarly $( \mathbf { a } \times \mathbf { j } ) ^ { 2 } = a _ { 3 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 2 }$ and $( \mathbf { a } \times \mathbf { k } ) ^ { 2 } = a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 }$

$\therefore$ $( \mathbf { a } \times \mathbf { i } ) ^ { 2 } + ( \mathbf { a } \times \mathbf { j } ) ^ { 2 } + ( \mathbf { a } \times \mathbf { k } ) ^ { 2 }$= $2 \left( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } \right) = 2 | \mathbf { a } | ^ { 2 }$