Question

If $\left( 1 ^ { 2 } - t _ { 1 } \right) + \left( 2 ^ { 2 } - t _ { 2 } \right) + \ldots . + \left( n ^ { 2 } - t _ { n } \right) = \frac { 1 } { 3 } n \left( n ^ { 2 } - 1 \right)$ , then $t _ { n }$ is

• A. $\frac { n } { 2 }$
• B. $n - 1$
• C. $n + 1$
• D. n

Answer 1

Answer: (D)

n

Answer 2

$\frac { 1 } { 3 } n \left( n ^ { 2 } - 1 \right) = \left( 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + \ldots . + n ^ { 2 } \right) - \left( t _ { 1 } + t _ { 2 } + \ldots . . + t _ { n } \right)$

⇒ $t _ { 1 } + t _ { 2 } + \ldots . . + t _ { n } = 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + \ldots \ldots + n ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } n \left( n ^ { 2 } - 1 \right)$ $= \frac { n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) } { 6 } - \frac { 1 } { 3 } n \left( n ^ { 2 } - 1 \right)$ $= \frac { n ( n + 1 ) } { 6 } [ 2 n + 1 - ( 2 n - 2 ) ]$

∴ $S _ { n } = \frac { n ( n + 1 ) } { 2 }$

$t _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 } = \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } - \frac { ( n - 1 ) n } { 2 } = n$