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Question

Question: If \(p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 }\) are altitudes of a triangle ABC from the vertices A, B, C a...

If p1,p2,p3p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } are altitudes of a triangle ABC from the vertices A, B, C and Δ\Delta, the area of the triangle, then p12+p22+p32p _ { 1 } ^ { - 2 } + p _ { 2 } ^ { - 2 } + p _ { 3 } ^ { - 2 } is equal to

A

a+b+cΔ\frac { a + b + c } { \Delta }

B

a2+b2+c24Δ2\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 4 \Delta ^ { 2 } }

C

a2+b2+c2Δ2\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } }

D

None

Answer

a2+b2+c24Δ2\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 4 \Delta ^ { 2 } }

Explanation

Solution

We have 12ap1=Δ,12bp2=Δ,12cp3=Δ\frac { 1 } { 2 } a p _ { 1 } = \Delta , \frac { 1 } { 2 } b p _ { 2 } = \Delta , \frac { 1 } { 2 } c p _ { 3 } = \Delta

p1=2Δa,p2=2Δb,p3=2Δcp _ { 1 } = \frac { 2 \Delta } { a } , p _ { 2 } = \frac { 2 \Delta } { b } , p _ { 3 } = \frac { 2 \Delta } { c }

1p12+1p22+1p32=a2+b2+c24Δ2\frac { 1 } { p _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { p _ { 3 } ^ { 2 } } = \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 4 \Delta ^ { 2 } }.