Question

If $l _ { 1 } , m _ { 1 } , n _ { 1 }$ and $l _ { 2 } , m _ { 2 } , n _ { 2 }$ are the direction cosines of two perpendicular lines, then the direction cosine of the line which is perpendicular to both the lines, will be

• A. $\left( m _ { 1 } n _ { 2 } - m _ { 2 } n _ { 1 } \right) , \left( n _ { 1 } l _ { 2 } - n _ { 2 } l _ { 1 } \right) , \left( l _ { 1 } m _ { 2 } - l _ { 2 } m _ { 1 } \right)$
• B. $\left( l _ { 1 } l _ { 2 } - m _ { 1 } m _ { 2 } \right) , \left( m _ { 1 } m _ { 2 } - n _ { 1 } n _ { 2 } \right) , \left( n _ { 1 } n _ { 2 } - l _ { 1 } l _ { 2 } \right)$
• C. $\frac { 1 } { \sqrt { l _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 1 } ^ { 2 } } } , \frac { 1 } { \sqrt { l _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } }$
• D. $\frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } }$

Answer 1

Answer: (A)

$\left( m _ { 1 } n _ { 2 } - m _ { 2 } n _ { 1 } \right) , \left( n _ { 1 } l _ { 2 } - n _ { 2 } l _ { 1 } \right) , \left( l _ { 1 } m _ { 2 } - l _ { 2 } m _ { 1 } \right)$

Answer 2

Let lines are $l _ { 1 } x + m _ { 1 } y + n _ { 1 } z + d = 0$ …..(i)

and $l _ { 2 } x + m _ { 2 } y + n _ { 2 } z + d = 0$ .....(ii)

If $l x + m y + n z + d = 0$ is perpendicular to (i) and (ii), then, $l l _ { 1 } + m m _ { 1 } + n n _ { 1 } = 0 , l l _ { 2 } + m m _ { 2 } + n n _ { 2 } = 0$

$\Rightarrow \frac { l } { m _ { 1 } n _ { 2 } - m _ { 2 } n _ { 1 } } = \frac { m } { n _ { 1 } l _ { 2 } - l _ { 1 } n _ { 2 } } = \frac { n } { l _ { 1 } m _ { 2 } - l _ { 2 } m _ { 1 } } = d$

Therefore, direction cosines are

$\left( m _ { 1 } n _ { 2 } - m _ { 2 } n _ { 1 } \right) , \left( n _ { 1 } l _ { 2 } - l _ { 1 } n _ { 2 } \right) , \left( l _ { 1 } m _ { 2 } - l _ { 2 } m _ { 1 } \right)$ .