Solveeit Logo
Login

Question

Mathematics Question on Matrices

If (i) A=[cos⁡αsin⁡α −sin⁡αcos⁡α]\begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha\\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix},then verify that A'A=I
(ii) A= [sin⁡αcos⁡α −cos⁡αsin⁡α]\begin{bmatrix} \sin\alpha & \cos\alpha\\\ -\cos \alpha & \sin\alpha \end{bmatrix},then verify that A'A=I

Answer

(i) A=A= [cos⁡αsin⁡α −sin⁡αcos⁡α]\begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha\\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}

∴A′=\therefore A'= [cos⁡α−sin⁡α sin⁡αcos⁡α]\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}

A'A= [cos⁡α−sin⁡α sin⁡αcos⁡α]\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} [cos⁡αsin⁡α −sin⁡αcos⁡α]\begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha\\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}

= [(cos⁡α)(cosα)+(−sin⁡α)(−sin⁡α)(cos⁡α)(sin⁡α)+(−sin⁡α)(cos⁡α) (sin⁡α)(cos⁡α)+(cos⁡α)(−sin⁡α)(sin⁡α)(sin⁡α)+(cos⁡α)(cos⁡α)]\begin{bmatrix} (\cos\alpha) (cos\alpha) + (- \sin\alpha)( -\sin\alpha) & (\cos\alpha)(\sin\alpha)+(-\sin\alpha)(\cos\alpha)\\\ (\sin\alpha)(\cos\alpha)+(\cos\alpha)(-\sin\alpha) & (\sin\alpha)(\sin\alpha)+(\cos\alpha)(\cos\alpha) \end{bmatrix}

= [cos⁡2α+sin⁡2αsin⁡αcos⁡α−sin⁡αcos⁡α  sinαcos⁡α−sin⁡αcos⁡αsin⁡2α+cos⁡2α]\begin{bmatrix} \cos^2α+\sin^2α & \sinα\cosα-\sinα\cosα\\\ \ sinα\cosα-\sinα\cosα & \sin^2α+\cos^2α \end{bmatrix}

= [10 01]=I\begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= I

Hence we verified that: A'A=I

(ii) [sin⁡αcos⁡α −cos⁡αsin⁡α]\begin{bmatrix} \sin\alpha & \cos\alpha\\\ -\cos\alpha & \sin\alpha \end{bmatrix}

so A'= [sin⁡α−cos⁡α cos⁡αsin⁡α]\begin{bmatrix} \sin\alpha & -\cos\alpha\\\ \cos\alpha & \sin\alpha \end{bmatrix}

A'A= \begin{bmatrix} \sin\alpha & -\cos\alpha\\\ \cos\alpha & \sin\alpha \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \sin\alpha & \cos\alpha\\\ -\cos\alpha & \sin\alpha \end{bmatrix}

= [(sin⁡α)(sin⁡α)+(−cos⁡α)(−cos⁡α)(sin⁡α)(cos⁡α)+(−cos⁡α)(sin⁡α) (cos⁡α)(sin⁡α)+(sin⁡α)(−cos⁡α)(cos⁡α)(cos⁡α)+(sin⁡α)(sin⁡α)]\begin{bmatrix} (\sin\alpha)(\sin\alpha)+(-\cos\alpha)(-\cos\alpha) & (\sin\alpha)(\cos\alpha)+(-\cos\alpha)(\sin\alpha)\\\ (\cos\alpha)(\sin\alpha)+(\sin\alpha)(-\cos\alpha) & (\cos\alpha)(\cos\alpha)+(\sin\alpha)(\sin\alpha) \end{bmatrix}

= [sin⁡2αcos⁡2αsin⁡αcos⁡α−sin⁡αcos⁡α sin⁡αcos⁡α−sin⁡αcos⁡αcos⁡2α+sin⁡2α]\begin{bmatrix} \sin^2α\cos^2α & \sinα\cosα-\sin\alpha\cos\alpha & \\\ \sinα\cosα-\sinα\cosα & \cos^2α+\sin^2α \end{bmatrix}

= [10 01]=I\begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= I

Hence we verified that: A′A=IA'A=I