Question

If for non-zero $x$ $a f ( x ) + b f \left( \frac { 1 } { x } \right) = \frac { 1 } { x } - 5$ where $\int _ { 1 } ^ { 2 } f ( x ) d x =$

• A. $\frac { 1 } { \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) } \left[ a \log 2 - 5 a + \frac { 7 } { 2 } b \right]$
• B. $\frac { 1 } { \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) } \left[ a \log 2 - 5 a + \frac { 7 } { 2 } b \right]$
• C. $\frac { 1 } { \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) } \left[ a \log 2 - 5 a - \frac { 7 } { 2 } b \right]$
• D. $\frac { 1 } { \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) } \left[ a \log 2 - 5 a - \frac { 7 } { 2 } b \right]$

Answer 1

Answer: (B)

$\frac { 1 } { \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) } \left[ a \log 2 - 5 a + \frac { 7 } { 2 } b \right]$

Answer 2

$a f ( x ) + b f \left( \frac { 1 } { x } \right) = \frac { 1 } { x } - 5$ (For each$x \neq 0$) …..(i)

Replacing x by $a f \left( \frac { 1 } { x } \right) + b f ( x ) = x - 5$ …..(ii)

Eliminating $f \left( \frac { 1 } { x } \right)$from (i) and (ii), we get

$\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) f ( x ) = \frac { a } { x } - b x - 5 a + 5 b$

⇒ $\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) \int _ { 1 } ^ { 2 } f ( x ) d x = \left[ \left( a \log | x | - \frac { b } { 2 } x ^ { 2 } - 5 ( a - b ) x \right) \right] _ { 1 } ^ { 2 }$

$= a \log 2 - 2 b - 10 ( a - b ) - a \log 1 + \frac { b } { 2 } + 5 ( a - b )$

$= a \log 2 - 5 a + \frac { 7 } { 2 } b$

⇒ $\int _ { 1 } ^ { 2 } f ( x ) d x = \frac { 1 } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } \left[ a \log 2 - 5 a + \frac { 7 } { 2 } b \right]$.