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Question

Mathematics Question on integral

Ifƒ(x)=∫0xt sin t dt, thenƒ′(x)isIf ƒ(x)=∫_0^xt\ sin\ t\ dt,\ then ƒ'(x)is

A

cos x+x sin xcos\ x+x\ sin\ x

B

x sin xx\ sin\ x

C

x cos xx\ cos\ x

D

sin x+x cos xsin\ x+x\ cos\ x

Answer

x sin xx\ sin\ x

Explanation

Solution

ƒ(x)=∫0xt sin t dt ƒ(x)=∫_0^xt\ sin\ t\ dt

Integrating by parts, we obtainIntegrating\ by\ parts, \ we \ obtain

ƒ(x)=t∫0xsin t dt−∫0x[(ddtt)∫sin t dt] dt ƒ(x)=t∫_0^x sin\ t\ dt-∫_0^x[{(\frac {d}{dt}t)∫sin\ t\ dt}]\ dt

= [t(−cos t)]0x−∫0x(−cos t)dt[t(-cos\ t)]_0^x-∫_0^x(-cos\ t)dt

= [−t cos t+sin t]0x[-t\ cos\ t+sin\ t]_0^x

= −x cos x+sin x-x\ cos\ x+sin\ x

⇒ƒ(x)=−[x(−sin x)+cos x]+cos x⇒ ƒ(x)=-[{x(-sin\ x)}+cos\ x]+cos\ x

= x sin x−cos x+cos xx\ sin\ x-cos\ x+cos\ x

= x sin xx\ sin\ x

Hence, correct Answer is B.Hence, \ correct\ Answer\ is \ B.