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Question

Question: If circles \(x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 a x + c = 0\) and \(x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 b y + c = 0\)...

If circles x2+y2+2ax+c=0x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 a x + c = 0 and x2+y2+2by+c=0x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 b y + c = 0 touch each other, then

A

1a+1b=1c\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } = \frac { 1 } { c }

B

1a2+1b2=1c2\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = \frac { 1 } { c ^ { 2 } }

C

1a+1b=c2\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } = c ^ { 2 }

D

1a2+1b2=1c\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = \frac { 1 } { c }

Answer

1a2+1b2=1c\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = \frac { 1 } { c }

Explanation

Solution

C2=(0,−b),r2=b2−cC _ { 2 } = ( 0 , - b ) , \quad r _ { 2 } = \sqrt { b ^ { 2 } - c };

C1C2=a2+b2C _ { 1 } C _ { 2 } = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }

∙∙\bullet \bullet Circles touch each other, therefore r1+r2=C1C2r _ { 1 } + r _ { 2 } = C _ { 1 } C _ { 2 }

⇒ a2−c+b2−c=a2+b2\sqrt { a ^ { 2 } - c } + \sqrt { b ^ { 2 } - c } = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }

⇒a2b2−b2c−a2c=0\Rightarrow a ^ { 2 } b ^ { 2 } - b ^ { 2 } c - a ^ { 2 } c = 0

Multiplying by 1a2b2c2\frac { 1 } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } } we get 1a2+1b2=1c\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = \frac { 1 } { c } .