Question

If A is the area and 2s the sum of the sides of a triangle, then

• A. A ≤$\frac { s ^ { 2 } } { 5 \sqrt { 3 } }$
• B. A ≤$\frac { s ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 3 } }$
• C. A >$\frac { s ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } }$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (B)

A ≤$\frac { s ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 3 } }$

Answer 2

We have 2s = a + b + c, A² = s(s – a) (s – b) (s – c).

Now A.M ≥ G.M

⇒ ≥ [s(s – a) (s – b)

(s – c)]^1/4

⇒ $\frac { 4 s - 2 s } { 4 }$≥ [A²]^1/4 ⇒ ≥ A^1/2 ⇒ A ≤.

Also $\frac { ( \mathrm { s } - \mathrm { a } ) + ( \mathrm { s } - \mathrm { b } ) + ( \mathrm { s } - \mathrm { c } ) } { 3 }$ ≥ [(s – a) (s – b) (s – c)]^1/3

or $\frac { s } { 3 } \geq \left[ \frac { A ^ { 2 } } { s } \right] ^ { 1 / 3 }$ or $\frac { A ^ { 2 } } { s } \leq \frac { s ^ { 3 } } { 27 }$ ⇒ A ≤ $\frac { s ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 3 } }$