Solveeit Logo
Login

Question

Mathematics Question on Matrices

If A=(10 11)A = \begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} , then An+nIA^n + nI is equal to

A

I

B

nA

C

I + nA

D

I - nA

Answer

I + nA

Explanation

Solution

We have
A=[10 11]A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 1 & 1\end{bmatrix}
∴A2=A⋅A=[10 11][10 11]=[10 21]\therefore A^{2}=A \cdot A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 2 & 1\end{bmatrix}
A3=A2⋅A=[10 21][10 11]=[10 31]A^{3}=A^{2} \cdot A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 3 & 1\end{bmatrix}
∴An=[10 n1]\therefore A^{n}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ n & 1\end{bmatrix}
Now,
An+nI=[10 n1]+n[10 01]A^{n}+n I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ n & 1\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 0 & 1\end{bmatrix}
=[10 n1]+[n0 0n]=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ n & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n & 0 \\\ 0 & n\end{bmatrix}
=[1+n0 n1+n]=\begin{bmatrix}1+n & 0 \\\ n & 1+n\end{bmatrix}
Again, I+nA=[10 01]+n[10 11]I+n A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 0 & 1\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 1 & 1\end{bmatrix}
=[10 01]+[n0 nn]=\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 0 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n & 0 \\\ n & n\end{bmatrix}
=[1+n0 n1+n]=\begin{bmatrix}1+n & 0 \\\ n & 1+n\end{bmatrix}
∴An+nI=I+nA\therefore A^{n}+n I=I+ n A