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Question

Mathematics Question on Matrices

If A=[3−2\4−2]\begin{bmatrix}3&-2\\\4&-2\end{bmatrix} and I=[10\01]\begin{bmatrix}1&0\\\0&1\end{bmatrix},find k so that A2=kA-2I

Answer

A2=A.A

\begin{bmatrix}3&-2\\\4&-2\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}3&-2\\\4&-2\end{bmatrix}

=[3(3)+(−2)(4)3(−2)+(−2)(−2)\4(3)+(−2)(4)4(−2)+(−2)(−2)]\begin{bmatrix}3(3)+(-2)(4)&3(-2)+(-2)(-2)\\\4(3)+(-2)(4)&4(-2)+(-2)(-2)\end{bmatrix}=[1−2\4−4]\begin{bmatrix}1&-2\\\4&-4\end{bmatrix}

Now A2=kA-2I
⇒[1−2\4−4]\Rightarrow \begin{bmatrix}1&-2\\\4&-4\end{bmatrix}=[3−2\4−2]\begin{bmatrix}3&-2\\\4&-2\end{bmatrix}-2[10\01]\begin{bmatrix}1&0\\\0&1\end{bmatrix}

⇒\Rightarrow [1−2\4−4]\begin{bmatrix}1&-2\\\4&-4\end{bmatrix}=[3k−2k\4k−2k]\begin{bmatrix}3k&-2k\\\4k&-2k\end{bmatrix}-2[10\01]\begin{bmatrix}1&0\\\0&1\end{bmatrix}

⇒\Rightarrow [1−2\4−4]\begin{bmatrix}1&-2\\\4&-4\end{bmatrix}=[3k−2−2k\4k−2k−2]\begin{bmatrix}3k-2&-2k\\\4k-2k&-2\end{bmatrix}
Comparing the corresponding elements, we have:
3k-2=1
3k=2
⇒\Rightarrow k=1

Thus, the value of k is 1.