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Question

Mathematics Question on Matrices

If A=[12 01]A= \begin{bmatrix}1&2\\\ 0&1\end{bmatrix} , then AnA^n is

A

[12n−2 01]\begin{bmatrix}1&2^n - 2\\\ 0&1\end{bmatrix}

B

[1n2 01]\begin{bmatrix}1&n^2 \\\ 0&1\end{bmatrix}

C

[12n 01]\begin{bmatrix}1&2n \\\ 0&1\end{bmatrix}

D

[1n2 11]\begin{bmatrix}1&n^2 \\\ 1 &1\end{bmatrix}

Answer

[12n 01]\begin{bmatrix}1&2n \\\ 0&1\end{bmatrix}

Explanation

Solution

A2=A.A=[12 01][12 01]=[14 01]=[12×2 01]A^{2} = A.A = \begin{bmatrix}1&2\\\ 0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2\\\ 0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&4\\\ 0&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&2\times2\\\ 0&1\end{bmatrix}
A3=A2.A=[14 01][12 01]=[16 01]=[13×2 01]A^{3} =A^{2} .A = \begin{bmatrix}1&4\\\ 0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2\\\ 0&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&6\\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\times2\\\ 0&1\end{bmatrix}
Similarly A4=A3.A=[18 01]=[14×2 01] A^{4} = A^{3} .A = \begin{bmatrix}1&8\\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&4\times2\\\ 0&1\end{bmatrix}
⇒An=An−1A=[1n×2 01]\Rightarrow A^{n} = A^{n-1} A =\begin{bmatrix}1&n\times2\\\ 0&1\end{bmatrix}
∴  An=[12n 01]\therefore \ \ A^{n} = \begin{bmatrix}1&2n\\\ 0&1\end{bmatrix}