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Question

Mathematics Question on Matrices

If A=[102 021 203]A=\begin{bmatrix}1&0&2\\\ 0&2&1\\\ 2&0&3\end{bmatrix}, prove that A3−6A2+7A+2I=0A^3-6A^2+7A+2I=0

Answer

A2=AA=[102 021 203][102 021 203]A^2=AA=\begin{bmatrix}1&0&2\\\ 0&2&1\\\ 2&0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&2\\\ 0&2&1\\\ 2&0&3\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}1+0+4& 0+0+0& 2+0+6\\\ 0+0+2& 0+4+0& 0+2+3\\\ 2+0+6& 0+0+0& 4+0+9\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}5&0&8\\\ 2&4&5\\\ 8&0&13\end{bmatrix}
Now A3=A2.A=[508 245 8013][102 021 203]A^3=A^2.A=\begin{bmatrix}5&0&8\\\ 2&4&5\\\ 8&0&13\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&2\\\ 0&2&1\\\ 2&0&3\end{bmatrix}
=[5+0+160+0+010+0+24 2+0+100+8+04+4+15 8+0+260+0+016+0+39]=\begin{bmatrix}5+0+16& 0+0+0& 10+0+24\\\ 2+0+10& 0+8+0& 4+4+15\\\ 8+0+26& 0+0+0& 16+0+39\end{bmatrix}
=[21034 12823 34055]=\begin{bmatrix}21& 0& 34\\\ 12& 8& 23\\\ 34& 0& 55\end{bmatrix}
∴A3−6A2+7A+2I\therefore A^3-6A^2+7A+2I
=[21034 12823 34055]−6[508 245 8013]+7[102 021 203]+2[100 010 001]=\begin{bmatrix}21& 0& 34\\\ 12& 8& 23\\\ 34& 0& 55\end{bmatrix}-6\begin{bmatrix}5&0&8\\\ 2&4&5\\\ 8&0&13\end{bmatrix}+7\begin{bmatrix}1&0&2\\\ 0&2&1\\\ 2&0&3\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{bmatrix}
=[21034 12823 34055]−[30048 122430 48078]+[7014 0147 14021]+[200 020 002]=\begin{bmatrix}21& 0& 34\\\ 12& 8& 23\\\ 34& 0& 55\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}30& 0& 48\\\ 12& 24& 30\\\ 48& 0& 78\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}7& 0& 14\\\ 0& 14& 7\\\ 14& 0& 21 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&0&2\end{bmatrix}
=[30048 122430 48078]−[30048 122430 48078]=\begin{bmatrix}30& 0& 48\\\ 12& 24& 30\\\ 48& 0& 78\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}30& 0& 48\\\ 12& 24& 30\\\ 48& 0& 78\end{bmatrix}
=[000 000 000]=0=\begin{bmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{bmatrix}=0
∴A3−6A2+7A+2I=0\therefore A^3-6A^2+7A+2I=0