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Question

Question: If \(a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } \ldots \ldots a _ { n }\) are in A.P., where \(a _ { i } > ...

If a1,a2,a3……ana _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } \ldots \ldots a _ { n } are in A.P., where ai>0a _ { i } > 0 for all ii, then the value of

1a1+a2+1a2+a3+\frac { 1 } { \sqrt { a _ { 1 } } + \sqrt { a _ { 2 } } } + \frac { 1 } { \sqrt { a _ { 2 } } + \sqrt { a _ { 3 } } } + ……+1an−1+an=\ldots \ldots + \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n - 1 } } + \sqrt { a _ { n } } } =

A

n−1a1+an\frac { n - 1 } { \sqrt { a _ { 1 } } + \sqrt { a _ { n } } }

B

n+1a1+an\frac { n + 1 } { \sqrt { a _ { 1 } } + \sqrt { a _ { n } } }

C

n−1a1−an\frac { n - 1 } { \sqrt { a _ { 1 } } - \sqrt { a _ { n } } }

D

n+1a1−an\frac { n + 1 } { \sqrt { a _ { 1 } } - \sqrt { a _ { n } } }

Answer

n−1a1+an\frac { n - 1 } { \sqrt { a _ { 1 } } + \sqrt { a _ { n } } }

Explanation

Solution

As given a2−a1=a3−a2=…….=an−an−1=da _ { 2 } - a _ { 1 } = a _ { 3 } - a _ { 2 } = \ldots \ldots . = a _ { n } - a _ { n - 1 } = d Where is the common difference of the given A.P.

Also an=a1+(n−1)da _ { n } = a _ { 1 } + ( n - 1 ) d.

Then by rationalising each term,

=a2−a1a2−a1+a3−a2a3−a2+…..+an−an−1an−an−1= \frac { \sqrt { a _ { 2 } } - \sqrt { a _ { 1 } } } { a _ { 2 } - a _ { 1 } } + \frac { \sqrt { a _ { 3 } } - \sqrt { a _ { 2 } } } { a _ { 3 } - a _ { 2 } } + \ldots . . + \frac { \sqrt { a _ { n } } - \sqrt { a _ { n - 1 } } } { a _ { n } - a _ { n - 1 } }

=1d{an−a1}=1d(an−a1an+a1)= \frac { 1 } { d } \left\{ \sqrt { a _ { n } } - \sqrt { a _ { 1 } } \right\} = \frac { 1 } { d } \left( \frac { a _ { n } - a _ { 1 } } { \sqrt { a _ { n } } + \sqrt { a _ { 1 } } } \right) =1d{(n−1)dan+a1}=n−1an+a1= \frac { 1 } { d } \left\{ \frac { ( n - 1 ) d } { \sqrt { a _ { n } } + \sqrt { a _ { 1 } } } \right\} = \frac { n - 1 } { \sqrt { a _ { n } } + \sqrt { a _ { 1 } } }.