Solveeit Logo
Login

Question

Question: If \(3 \sin ^ { - 1 } \frac { 2 x } { 1 - x ^ { 2 } } - 4 \cos ^ { - 1 } \frac { 1 - x ^ { 2 } } { ...

If 3sin⁡−12x1−x2−4cos⁡−11−x21+x2+2tan⁡−12x1−x2=π33 \sin ^ { - 1 } \frac { 2 x } { 1 - x ^ { 2 } } - 4 \cos ^ { - 1 } \frac { 1 - x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } + 2 \tan ^ { - 1 } \frac { 2 x } { 1 - x ^ { 2 } } = \frac { \pi } { 3 } then

xx =

A

3\sqrt { 3 }

B

13\frac { 1 } { \sqrt { 3 } }

C

1

D

None of these

Answer

13\frac { 1 } { \sqrt { 3 } }

Explanation

Solution

3sin⁡−12x1+x2−4cos⁡−11−x21+x2+2tan⁡−12x1−x2=π33 \sin ^ { - 1 } \frac { 2 x } { 1 + x ^ { 2 } } - 4 \cos ^ { - 1 } \frac { 1 - x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } + 2 \tan ^ { - 1 } \frac { 2 x } { 1 - x ^ { 2 } } = \frac { \pi } { 3 }

Putting x=tan⁡θx = \tan \theta

3sin⁡−1(2tan⁡θ1+tan⁡2θ)−4cos⁡−1(1−tan⁡2θ1+tan⁡2θ)3 \sin ^ { - 1 } \left( \frac { 2 \tan \theta } { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } \right) - 4 \cos ^ { - 1 } \left( \frac { 1 - \tan ^ { 2 } \theta } { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } \right)

+2tan⁡−1(2tan⁡θ1−tan⁡2θ)=π3+ 2 \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 2 \tan \theta } { 1 - \tan ^ { 2 } \theta } \right) = \frac { \pi } { 3 }

⇒ 3sin⁡−1(sin⁡2θ)−4cos⁡−1(cos⁡2θ)3 \sin ^ { - 1 } ( \sin 2 \theta ) - 4 \cos ^ { - 1 } ( \cos 2 \theta ) +2tan⁡−1(tan⁡2θ)=π3+ 2 \tan ^ { - 1 } ( \tan 2 \theta ) = \frac { \pi } { 3 }

⇒ 3(2θ)−4(2θ)+2(2θ)=π3⇒6θ−8θ+4θ=π33 ( 2 \theta ) - 4 ( 2 \theta ) + 2 ( 2 \theta ) = \frac { \pi } { 3 } \Rightarrow 6 \theta - 8 \theta + 4 \theta = \frac { \pi } { 3 }

⇒ θ=π6⇒tan⁡−1x=π6⇒x=tan⁡π6=13\theta = \frac { \pi } { 6 } \Rightarrow \tan ^ { - 1 } x = \frac { \pi } { 6 } \Rightarrow x = \tan \frac { \pi } { 6 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } }