Question

Find the limit, when n ®  of $\frac{\sqrt{n}}{(3 + 4\sqrt{n})^{2}}$ +

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}(3\sqrt{2} + 4\sqrt{n})^{2}}$+ + ... + $\frac{1}{49n}$

• A. $\frac{1}{12}$
• B. $\frac{1}{13}$
• C. $\frac{1}{14}$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (C)

$\frac{1}{14}$

Answer 2

Let P =

$\operatorname { Lim } _ { n \rightarrow \infty }$ $\left\{ \frac { \sqrt { n } } { ( 3 + 4 \sqrt { n } ) ^ { 2 } } + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { 2 } ( 3 \sqrt { 2 } + 4 \sqrt { n } ) ^ { 2 } } + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { 3 } ( 3 \sqrt { 3 } + 4 \sqrt { n } ) ^ { 2 } } + \ldots + \frac { 1 } { 49 n } \right\}$

= $\operatorname { Lim } _ { n \rightarrow \infty }$

$\left\{ \begin{array} { l } \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { 1 } ( 3 \sqrt { 1 } + 4 \sqrt { n } ) ^ { 2 } } + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { 2 } ( 3 \sqrt { 2 } + 4 \sqrt { n } ) ^ { 2 } } + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { 3 } ( 3 \sqrt { 3 } + 4 \sqrt { n } ) ^ { 2 } } \\ + \ldots + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { n } ( 3 \sqrt { n } + 4 \sqrt { n } ) ^ { 2 } } \end{array} \right\}$

= $\operatorname { Lim } _ { n \rightarrow \infty }$

= $\operatorname { Lim } _ { n \rightarrow \infty }$

= $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { \sqrt { x } ( 3 \sqrt { x } + 4 ) ^ { 2 } }$

Put 3 + 4 = t

\ dx = dt Ž $\frac { 2 } { 3 }$dt

when x = 0 Ž t = 4

x = 1 Ž t = 7

\ P = $\frac { 2 } { 3 }$ = $\frac { 2 } { 3 }$ $\left. \left( - \frac { 1 } { \mathrm { t } } \right) \right| _ { 4 } ^ { 7 }$

= –$\frac { 2 } { 3 }$ $\left\{ \frac { 1 } { 7 } - \frac { 1 } { 4 } \right\}$

= $\frac { 2 } { 3 }$ $\left\{ \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 7 } \right\}$ = $\frac { 2 } { 3 }$ . $\frac { 3 } { 38 }$ = $\frac { 1 } { 14 }$

Hence P = $\frac { 1 } { 14 }$ .