Question

Evaluate the definite integral: $∫^π_0\frac{xtanx}{secx+tanx}dx$

Answer 1

Let I=$∫^π_0\frac{xtanx}{secx+tanx}dx$.....(1)

$I=∫_0^π{(\frac{π-x)tan(π-x)}{sec(π-x)+tan(π-x)}}dx$ $(∫_0^aƒ(x)dx=∫_0^aƒ(a-x)dx)$

$⇒I=∫_0^π\frac{-(π-x)tanx}{-(secx+tanx)}dx$

$⇒I=∫_0^π\frac{(π-x)tanx}{secx+tanx}dx...(2)$

$Adding(1)and(2),we obtain$

$2I=∫_0^π \frac{πtanx}{secx+tanx}dx$

$⇒2I=π∫_0^π\frac{sinx+1-1}{1+sinx}dx$

$⇒2I=π∫_0^π1.dx-π∫_0^π\frac{1}{1+sinx}dx$

$⇒2I=π\bigg[x\bigg]^π_0-π∫_0^π\frac{1-sinx}{cos^2x}dx$

$⇒2I=π^2-π∫_0^π(sec^2x-tanx\,secx)dx$

$⇒2I=π^2-π[tanx-secx]_0^π$

$⇒2I=π^2-π[tanπ-secπ-tan0sec0]$

$⇒2I=π^2-π[0-(-1)-0+1]$

$⇒2I=π^2-2π$

$⇒2I=π(π-2)$

$⇒I=\frac{π}{2}(π-2)$