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Question

Question: \(\cot ^ { - 1 } \left[ ( \cos \alpha ) ^ { 1 / 2 } \right] - \tan ^ { - 1 } \left[ ( \cos \alpha ) ...

cot⁡−1[(cos⁡α)1/2]−tan⁡−1[(cos⁡α)1/2]=x\cot ^ { - 1 } \left[ ( \cos \alpha ) ^ { 1 / 2 } \right] - \tan ^ { - 1 } \left[ ( \cos \alpha ) ^ { 1 / 2 } \right] = x then sin⁡x=\sin x =

A

tan⁡2(α2)\tan ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right)

B

cot⁡2(α2)\cot ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right)

C

tan⁡α\tan \alpha

D

cot⁡(α2)\cot \left( \frac { \alpha } { 2 } \right)

Answer

tan⁡2(α2)\tan ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right)

Explanation

Solution

tan⁡−1[1cos⁡α]−tan⁡−1[cos⁡α]=x\tan ^ { - 1 } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \cos \alpha } } \right] - \tan ^ { - 1 } [ \sqrt { \cos \alpha } ] = x

⇒ tan⁡−1[1cos⁡α−cos⁡α1+cos⁡αcos⁡α]=x\tan ^ { - 1 } \left[ \frac { \frac { 1 } { \sqrt { \cos \alpha } } - \sqrt { \cos \alpha } } { 1 + \frac { \sqrt { \cos \alpha } } { \sqrt { \cos \alpha } } } \right] = x ⇒ tan⁡x=1−cos⁡α2cos⁡α\tan x = \frac { 1 - \cos \alpha } { 2 \sqrt { \cos \alpha } }

∴sin⁡x=1−cos⁡α1+cos⁡α=2sin⁡2α22cos⁡2α2=tan⁡2(α2)\therefore \sin x = \frac { 1 - \cos \alpha } { 1 + \cos \alpha } = \frac { 2 \sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } } { 2 \cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } } = \tan ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) .