Solveeit Logo
Login

Question

Mathematics Question on Matrices

Compute the indicated products (i)\begin{bmatrix}a&b\\\\-b&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&-b\\\b&a\end{bmatrix}$$(ii)\begin{bmatrix}1\\\2\\\3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&3&4\end{bmatrix}$$(iii)\begin{bmatrix}1&-2\\\2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\\2&3&1\end{bmatrix}$$(iv)\begin{bmatrix}2&3&4\\\ 3&4&5\\\ 4&5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-3&5\\\ 0&2&4\\\ 3&0&5\end{bmatrix}
(v)\begin{bmatrix}2&1\\\3&2\\\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-3\\\1&0\\\3&1\end{bmatrix}$$(vi)\begin{bmatrix}3&-1&3\\\\-1&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-3\\\1&0\\\3&1\end{bmatrix}

Answer

(i)[ab−ba][a−b\ba](i)\begin{bmatrix}a&b\\\\-b&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&-b\\\b&a\end{bmatrix}
=[a(a)+b(b)a(−b)+b(a) −b(a)+a(b)−b(−b)+a(a)]=\begin{bmatrix}a(a)+b(b)& a(-b)+b(a)\\\ -b(a)+a(b)& -b(-b)+a(a)\end{bmatrix}
=[a2+b2−ab+ab −ab+abb2+a2]=[a2+b20 0a2+b2]=\begin{bmatrix}a^2+b^2& -ab+ab\\\ -ab+ab& b^2+a^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^2+b^2& 0\\\ 0& a^2+b^2\end{bmatrix}
(ii)[1\2\3][234](ii)\begin{bmatrix}1\\\2\\\3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&3&4\end{bmatrix}
=[1(2)1(3)1(4) 2(2)2(3)2(4) 3(2)3(3)3(4)]=\begin{bmatrix}1(2)& 1(3)& 1(4)\\\ 2(2)& 2(3)& 2(4)\\\ 3(2)& 3(3)& 3(4)\end{bmatrix}
=[234 468 6912]=\begin{bmatrix}2&3&4\\\ 4&6&8\\\ 6&9&12\end{bmatrix}
(iii)[1−2\23][123\231](iii)\begin{bmatrix}1&-2\\\2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\\2&3&1\end{bmatrix}
=[1(1)−2(2)1(2)−2(3)1(3)−2(1) 2(1)+3(2)2(2)+3(3)2(3)+3(1)]=\begin{bmatrix}1(1)-2(2)& 1(2)-2(3)& 1(3)-2(1)\\\ 2(1)+3(2)& 2(2)+3(3)& 2(3)+3(1)\end{bmatrix}
=[1−42−63−2 2+64+96+3]=[−3−41 8139]=\begin{bmatrix}1-4& 2-6& 3-2\\\ 2+6& 4+9& 6+3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&-4&1\\\ 8&13&9\end{bmatrix}
(iv)[234 345 456][1−35 024 305](iv)\begin{bmatrix}2&3&4\\\ 3&4&5\\\ 4&5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-3&5\\\ 0&2&4\\\ 3&0&5\end{bmatrix}
=[2(1)+3(0)+4(3)2(−3)+3(2)+4(0)2(5)+3(4)+4(5) 3(1)+4(0)+5(3)3(−3)+4(2)+5(0)3(5)+4(4)+5(5)\4(1)+5(0)+6(3)4(−3)+5(2)+6(0)4(5)+5(4)+6(5)]=\begin{bmatrix}2(1)+3(0)+4(3)& 2(-3)+3(2)+4(0)& 2(5)+3(4)+4(5)\\\ 3(1)+4(0)+5(3)& 3(-3)+4(2)+5(0)& 3(5)+4(4)+5(5)\\\4(1)+5(0)+6(3)& 4(-3)+5(2)+6(0)& 4(5)+5(4)+6(5)\end{bmatrix}
=[2+0+12−6+6+010+12+20 3+0+15−9+8+015+16+25 4+0+18−12+10+020+20+30]=\begin{bmatrix}2+0+12& -6+6+0& 10+12+20\\\ 3+0+15& -9+8+0& 15+16+25\\\ 4+0+18& -12+10+0& 20+20+30\end{bmatrix}
=[14042 18−156 22−270]=\begin{bmatrix}14& 0& 42\\\ 18& -1& 56\\\ 22& -2& 70\end{bmatrix}
(v)[21\32−11][2−3\10\31](v)\begin{bmatrix}2&1\\\3&2\\\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-3\\\1&0\\\3&1\end{bmatrix}
=[2(1)+1(−1)2(0)+1(2)2(1)+1(1) 3(1)+2(−1)3(0)+2(2)3(1)+2(1) −1(1)+1(−1)−1(0)+1(2)−1(1)+1(1)]=\begin{bmatrix} 2(1)+1(-1)& 2(0)+1(2)& 2(1)+1(1)\\\ 3(1)+2(-1)& 3(0)+2(2)& 3(1)+2(1)\\\ -1(1)+1(-1)& -1(0)+1(2)& -1(1)+1(1)\end{bmatrix}
=[2−10+22+1 3−20+43+2 −1−10+2−1+1]=\begin{bmatrix}2-1& 0+2& 2+1\\\ 3-2& 0+4& 3+2\\\ -1-1& 0+2& -1+1\end{bmatrix}
=[123 145 −220]=\begin{bmatrix}1&2&3\\\ 1&4&5\\\ -2&2&0\end{bmatrix}
(vi)[3−13−102][2−3\10\31](vi)\begin{bmatrix}3&-1&3\\\\-1&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-3\\\1&0\\\3&1\end{bmatrix}
=[3(2)−1(1)+3(3)3(−3)−1(0)+3(1) −1(2)+0(1)+2(3)−1(−3)+0(0)+2(1)]=\begin{bmatrix}3(2)-1(1)+3(3)& 3(-3)-1(0)+3(1)\\\ -1(2)+0(1)+2(3)& -1(-3)+0(0)+2(1)\end{bmatrix}
=[6−1+9−9−0+3 −2+0+63+0+2]=[14−6 45]=\begin{bmatrix}6-1+9& -9-0+3\\\ -2+0+6& 3+0+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14& -6\\\ 4& 5\end{bmatrix}