Question

Choose the correct answer.
If x,y,z are nonzero real numbers,then the inverse of matrix
A=$\begin{bmatrix}x& 0& 0\\\ 0& y& 0\\\0&0& z\end{bmatrix}$is

• A. $\begin{bmatrix}x^{-1}& 0& 0\\\ 0& y^{-}1& 0\\\0&0& z^{-1}\end{bmatrix}$
• B. xyz$\begin{bmatrix}x^{-1}& 0& 0\\\ 0& y^{-}1& 0\\\0&0& z^{-1}\end{bmatrix}$
• C. $\frac{1}{xyz}\begin{bmatrix}x& 0& 0\\\ 0& y& 0\\\0&0& z\end{bmatrix}$
• D. $\frac{1}{xyz}\begin{bmatrix}1& 0& 0\\\ 0& 1& 0\\\0&0& 1\end{bmatrix}$

Answer 1

Answer: (A)

$\begin{bmatrix}x^{-1}& 0& 0\\\ 0& y^{-}1& 0\\\0&0& z^{-1}\end{bmatrix}$

Answer 2

A=$\begin{bmatrix}x& 0& 0\\\ 0& y& 0\\\0&0& z\end{bmatrix}$
$∴|A|=x(yz-0)=xyz≠0$

Now,
$A_{11}=yz,A_{12}=0,A_{13}=0$
$A_{21}=0,A_{22}=xz,A_{23}=0$
$A_{31}=0,A_{32}=0,A_{33}=xy$

$∴adjA$=$\begin{bmatrix}yz& 0& 0\\\ 0& xz& 0\\\0&0& xy\end{bmatrix}$

$∴A^{-1}$=\frac{1}{|A|}$$adjA
=$\frac{1}{xyz}\begin{bmatrix}yz& 0& 0\\\ 0& xz& 0\\\0&0& xy\end{bmatrix}$
=$\begin{bmatrix}\frac{yz}{xyz}& 0& 0\\\ 0& \frac{xz}{xyz}& 0\\\0&0& \frac{xy}{xyz}\end{bmatrix}$
=$\begin{bmatrix}\frac{1}{x}& 0& 0\\\ 0& \frac{1}{y}& 0\\\0&0& \frac{1}{z}\end{bmatrix}$
=$\begin{bmatrix}x^{-1}& 0& 0\\\ 0& y^{-1}& 0\\\0&0& z^{-1}\end{bmatrix}$

The correct answer is A.