Question

Area of the ellipse represented by 3x² + 4xy + 3y² = 1, is equal to

• A. $\frac { \pi } { \sqrt { 5 } }$sq. units
• B. $\frac { \pi } { 3 \sqrt { 5 } }$sq. units
• C. $\frac { \pi } { 2 \sqrt { 5 } }$sq. units
• D. $\frac { \pi } { 4 \sqrt { 5 } }$sq. union

Answer 1

Answer: (A)

$\frac { \pi } { \sqrt { 5 } }$sq. units

Answer 2

We have 3y² + 4xy + 3x² − 1 = 0

$\Rightarrow y = \frac { - 4 x \pm \sqrt { 16 y ^ { 2 } - 12 \left( 3 x ^ { 2 } - 1 \right) } } { 6 }$

i.e $y = \frac { - 2 x \pm \sqrt { 3 - 5 x ^ { 2 } } } { 3 }$

We must have 3 − 5x² ≥ 0 i.e x ∈ $\left[ - \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } , \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } \right]$

Equation of the branches of ellipse are

$y _ { 1 } = \frac { - 2 x + \sqrt { 3 - 5 x ^ { 2 } } } { 3 }$ and $y _ { 2 } = \frac { - 2 x - \sqrt { 3 - 5 x ^ { 2 } } } { 3 }$

Required area $\Delta = \int _ { - \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } } ^ { \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } } \left( y _ { 1 } \sim y _ { 2 } \right) d x$

$= \frac { 2 } { 3 } \int _ { - \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } } ^ { \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } } \sqrt { 3 - 5 x ^ { 2 } } d x = \frac { 4 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } } \sqrt { 3 - 5 x ^ { 2 } } d x$

$= \frac { 4 \sqrt { 5 } } { 3 } \left( \frac { x } { 2 } \sqrt { \frac { 3 } { 5 } - x ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 10 } \sin ^ { - 1 } \left( \frac { x \sqrt { 5 } } { \sqrt { 3 } } \right) \right) _ { 0 } ^ { \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } }$

$= \frac { \pi } { \sqrt { 5 } }$ sq. units