Question

AD is a median of the $\triangle A B C$if AE and AF are medians of the triangles ABD and ADC respectively and $A D = m _ { 1 }$ $A E = m _ { 2 }$, $A F = m _ { 3 }$, then $\frac { a ^ { 2 } } { 8 }$ is equal to

• A. $m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } - 2 m _ { 1 } ^ { 2 }$
• B. $m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } - 2 m _ { 3 } ^ { 2 }$
• C. $m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 }$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (A)

$m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } - 2 m _ { 1 } ^ { 2 }$

Answer 2

In $\triangle A B C$ $A D ^ { 2 } = m _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { c ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } - \frac { a ^ { 2 } } { 4 }$

In $\triangle A B D$ $A E ^ { 2 } = m _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { c ^ { 2 } + A D ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } } { 4 }$

In$\triangle A D C , A F ^ { 2 } = m _ { 3 } ^ { 2 } = \frac { A D ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } } { 4 }$ $\therefore$ $m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } = A D ^ { 2 } + \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 2 } - \frac { a ^ { 2 } } { 8 }$ = $m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { a ^ { 2 } } { 4 } - \frac { a ^ { 2 } } { 8 }$

$m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } = 2 m _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { a ^ { 2 } } { 8 }$ ⇒ $\frac { a ^ { 2 } } { 8 } = m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } - 2 m _ { 1 } ^ { 2 }$.