Question

A cyclic quadrilateral ABCD of area $\frac { 3 \sqrt { 3 } } { 4 }$ is inscribed in a unit circle. If one of its sides AB = 1 and the diagonal BD = $\sqrt { 3 }$ then the lengths of the other sides are

• A. 2, 1, 1
• B. 2, 1, 2
• C. 3, 1, 2
• D. None of these

Answer 1

Answer: (A)

2, 1, 1

Answer 2

By sine formula in $\triangle A B C$, $\frac { \sqrt { 3 } } { \sin A } = 2 R \Rightarrow \frac { \sqrt { 3 } } { \sin A } = 2$

⇒ $\sin A = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ⇒ $A = \frac { \pi } { 3 }$

Now, $A B = x = 1$

By cosine formula in $\triangle A B D$ $\cos \frac { \pi } { 3 } = \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 3 } { 2 x y }$

⇒ $\frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 + y ^ { 2 } - 3 } { 2 y }$ ⇒ $y = y ^ { 2 } - 2$

⇒ $y ^ { 2 } - y - 2 = 0$ ⇒ $( y - 2 ) ( y + 1 ) = 0$ ⇒ $y = 2$ [$\because y \neq - 1$]

$\therefore$ Since $\angle A = 60 ^ { \circ }$ $\therefore \angle C = 120 ^ { \circ }$

In $\triangle B D C , 3 = p ^ { 2 } + q ^ { 2 } - 2 p q \cos 120 ^ { \circ }$

⇒ $3 = p ^ { 2 } + q ^ { 2 } + p q$ .........(i)

Also area of quadrilateral $A B C D = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 4 }$

$\therefore$

⇒ $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 } p q = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 4 } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = \frac { 3 \sqrt { 3 } - 2 \sqrt { 3 } } { 4 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$ ⇒ $p q = 1$

$\therefore$(i) gives, $3 = p ^ { 2 } + q ^ { 2 } + 1$

⇒ $p ^ { 2 } + q ^ { 2 } = 2$, $[ p , q > 0 ]$

$\therefore$ $p ^ { 2 } + \frac { 1 } { p ^ { 2 } } = 2$ ⇒ $p ^ { 4 } - 2 p ^ { 2 } + 1 = 0$ ⇒ $\left( p ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } = 0$

⇒ ⇒ $\therefore p = 1 , q = 1$

$\therefore A B = 1 , A D = 2 , B C = C D = 1$.